Hlavolam

1 Hlavolam

Zo špeciálnej teórie relativity vyplýva, že s rýchlosťou rastie zotrvačná hmotnosť objektu, preto na jeho ďalšie zrýchlenie treba vynakladať stále viac energie. Táto predikcia  je experimentálne dobre potvrdená v jadrovej fyzike. Napriek tomu relativistická dynamika špeciálnej teórie relativity vyúsťuje do paradoxu:

Máme teleso, na ktoré začneme pôsobiť silou a budeme mu trvalo dodávať rovnakú energiu. Predstavme si, že je to raketa, ktorej sme zapli motory. Vo vnútri rakety je pozorovateľ, ktorý v ruke drží pingpongovú loptičku. Pretože rakete dodávame energiu, ktorou vyvoláme jej zrýchlenie, vzhľadom na pokojovú (zotrvačnú vzťažnú) sústavu, na loptičku v rakete pôsobí zotrvačná sila, povedzme 10 N. Energia, ktorou pôsobíme na raketu, rakete udáva zrýchlenie, ktoré je spočiatku v čase stále, ale ako rastie jej rýchlosť, rastie jej zotrvačná hmotnosť a jej zrýchlenie vzhľadom na pokojovú sústavu stále klesá. Na pingpongovú loptičku však stále pôsobí rovnaká sila 10 N, ako pri štarte rakety. Povedzme, že raketa už dosiahla rýchlosť blízku rýchlosti c a jej rýchlosť, vzhľadom na pokojovú sústavu, už takmer nerastie. Čo sa stane, keď pozorovateľ pustí pingpongovú loptičku?  

Z hľadiska klasickej mechaniky, ale tiež špeciálnej teórie relativity na loptičku pôsobí sila 10 N, takže by mala padať k podlahe rakety so zrýchlením tomu úmerným. Ako sa to však prejaví z hľadiska pozorovateľa v pokojovej sústave, keď zrýchlenie rakety, vzhľadom na pokojovú sústavu je iba zanedbateľné? Udrží si loptička zotrvačnosťou vzhľadom na pokojovú sústavu  rýchlosť, ktorú mala raketa v momente, keď ju pozorovateľ pustil? Potom by mala padať k podlahe rakety len s veľmi malým zrýchlením – s tým zrýchlením, ktoré má raketa vzhľadom na pokojovú sústavu. Alebo bude loptička padať k podlahe rakety so zrýchlením úmerným sile 10 N, ktoré by mala pri štarte rakety a s týmto zrýchlením, ak zanedbáme nepatrné zrýchlenie rakety vzhľadom na pokojovú sústavu, bude zaostávať za raketou a strácať rýchlosť aj vzhľadom na pokojovú sústavu?

2 Fyzik Martin Scholtz – Riešenie hlavolamu

Stručne povedané: Vaša úvaha je správna, ale paradox neexistuje. Zrýchlenie nie je absolútna veličina a závisí od pozorovateľa, takže jeden to uvidí tak, druhý onak.

Úvaha, ktorú prezentujete v priloženom dokumente je zaujímavá a dobre osvetľuje problém zrýchlenia v špeciálnej teórii relativity (ŠTR). Je to však štandardná úloha a nepredstavuje paradox. V pokročilejších učebniciach relativity ju nájdete pod názvom "Rindlerove súradnice" alebo "Rindlerov priestoročas" (Rindlerov priestoročas je obyčajný Minkowského priestoročas, ale zapísaný v súradniciach urýchleného pozorovateľa). 

Ako ste správne poznamenali, v ŠTR nemôže pozorovateľ zrýchľovať s konštantným zrýchlením voči inerciálnej sústave, inak by dosiahol rýchlosť svetla. Ale aj tak má dobrý zmysel hovoriť o konštantnom zrýchlení. A to presne v tom zmysle, ako ste napísali. Ak raketa bude vynakladať konštantný výkon, v rakete bude pôsobiť zotrvačná sila konštantnej veľkosti, čo zodpovedá sústave pohybujúcej sa s konštantným zrýchlením. Ak si zvolíme jedného konkrétneho inerciálneho pozorovateľa, voči nemu sa zrýchlenie rakety bude zmenšovať, z dôvodov, ktoré ste uviedli. Ale môžeme si predstaviť, že v každom čase existuje inerciálny pozorovateľ, ktorý má v danom čase rovnakú rýchlosť ako urýchľovaná raketa. Takže povedzme, že raketa spojite prechádza rýchlosťami 0, 1, 2, 3 m/s voči pôvodnému pozorovateľovi. Existujú však ďalší pozorovatelia, jeden z nich sa pohybuje konštantnou rýchlosťou 1 m/s, druhý 2 m/s, atď. Voči každému z nich sa raketa pohybuje s meniacim sa zrýchlením, ale zároveň v každom čase existuje práve jeden pozorovateľ, voči ktorému je v danom čase raketa v pokoji. Preto zavádzame pojem "spolupohybujúca sa inerciálna sústava" (anglicky co-moving, neviem to lepšie preložiť): je to inerciálna sústava, ktorá má v jednom konkrétnom okamihu rovnakú rýchlosť ako raketa. Hneď v ďalšom okamihu už to platiť nebude, pretože raketa zrýchli, zatiaľ čo inerciálny pozorovateľ sa pohybuje stále rovnakou rýchlosťou. V tomto ďalšom čase však existuje iný pozorovateľ, ktorý je v tomto čase "co-moving" s raketou, ale zase len na okamih. Snáď je to jasné.

Takže rovnomerne zrýchlený pohyb rakety je taký, že raketa má konštantné zrýchlenie voči spolupohybujúcej sa inerciálnej sústave v každom čase. To presne zodpovedá tomu, že pozorovateľ v rakete pociťuje konštantnú zotrvačnú silu.

No a teraz k pingpongovej loptičke. Z hľadiska rakety je to jasné. V momente, keď kozmonaut pustí loptičku, loptička sa pre neho stane (na okamih) spolupohybujúcou sa inerciálnou sústavou a teda raketa sa voči nej pohybuje so zrýchlením, aké by mala pri štarte, tak ako voči každej spolupohybujúcej sa inerciálnej sústave.

Inerciálny pozorovateľ, voči ktorému je už zrýchlenie rakety prakticky zanedbateľné, ale, samozrejme, uvidí niečo iné. Pre neho sa raketa už pohybuje skoro rovnomerne priamočiaro, zrýchlenie je skoro nulové. Kozmonaut pustí loptičku, ktorá sa tým stane inerciálnou sústavou, ale má rovnakú rýchlosť ako raketa (je co-moving), takže pre pozorovateľa na zemi je loptička prakticky v pokoji voči rakete a ich vzájomné zrýchlenie je skoro nulové. Až po chvíli si všimneme, že raketa predsa len trochu zrýchľuje a bude za sebou pingpongovú loptičku nechávať.

Nie je v tom žiaden paradox. Neviem, či Vás táto odpoveď uspokojila. V podstate ste na ňu prišli sám, ja len hovorím, že v tom nie je žiaden rozpor.

3 Dančanin - Ako je to teda so svetlom

Princíp konštantnej rýchlosti svetla podľa môjho názoru vyplýva z jednoduchého predpokladu:

Vzhľadom na co-moving sústavu (spolupohybujúcu sa inerciálnu sústavu) pohybujúcu sa v smere šírenia sa svetla, má svetlo väčšie zrýchlenie ako vzhľadom na pokojovú sústavu. Takto si svetlo zachováva konštantnú rýchlosť c v obidvoch sústavách.

Skúsim to objasniť trochu širšie:

Svetlo sa správa tak, ako zrýchlený objekt, na ktorý pôsobí sila  - podobne ako raketa, ktorej dodávame konštantnú energiu. Pri vyššej rýchlosti je jej zrýchlenie vzhľadom na pokojovú sústavu  už „takmer“ alebo vôbec  žiadne, ale vzhľadom na co-moving sústavu  - spolupohybujúcu sa inerciálnu sústavu - má rovnaké zrýchlenie, aké mala pri štarte vzhľadom na pokojovú sústavu. 

Povedzme, že máme raketu s neobmedzene výkonnými motormi, ktorú dokážeme dodávaním energie udržať zarovno so svetelnou vlnou zachytenou na horizonte udalostí čiernej diery. Keď si čiernu dieru odmyslíme, táto raketa sa bude pohybovať zarovno so svetelnou vlnou rýchlosťou c v otvorenom  priestore. Pri rýchlosti c sa však dodávanie energie rakete už neprejavuje jej zrýchlením vzhľadom na pokojovú sústavu, ale jej stálou rýchlosťou c. Vzhľadom na co-moving sústavu má však zrýchlenie rovné gravitačnému zrýchleniu na horizonte udalostí čiernej diery. 

Keď svetlo (raketa) štartuje z pokojovej sústavy, táto je preň na moment co-moving sústavou, voči ktorej jeho zrýchlenie je rovné gravitačnému zrýchleniu na horizonte udalostí čiernej diery, resp. rýchlosť c je ekvivalentná gravitačnému zrýchleniu na horizonte udalostí čiernej diery. Keď vzhľadom  na pokojovú sústavu dosiahne rýchlosť c, udržuje si túto rýchlosť svojou energiou (v prípade rakety dodávanou energiou).

Ako je to so šírením svetla vzhľadom na dve telesá pohybujúce sa zotrvačne  voči sebe? Máme  teleso A, ktoré považujeme za pokojové a teleso B, ktoré sa vzhľadom naň pohybuje zotrvačne v smere šírenia sa svetla. Čím väčšiu má teleso B rýchlosť v smere šírenia sa svetla, tým viac je to pre  svetlo co-moving sústava, voči ktorej je  jeho  zrýchlenie väčšie oproti pokojovej sústave - telesu A. Týmto spôsobom väčšieho zrýchlenia vzhľadom na co-moving sústavu, oproti pokojovej sústave, si svetlo zachováva konštantnú rýchlosť c vzhľadom na všetky zotrvačne sa pohybujúce telesá, bez ohľadu na ich vzájomný pohyb, teda v každej inerciálnej sústave. Ako si to predstavujem vysvetlím na obr. 1.

Obr. 1: Princíp konštantnej rýchlosti  svetla

Teleso A považujeme za pokojové, teleso B sa vzhľadom naň  pohybuje zotrvačne v smere šírenia sa svetla rýchlosťou v = 100 km/s.

Teleso B je pre svetlo viac co-moving sústava, voči ktorej je zrýchlenie svetla väčšie oproti pokojovému telesu A  - teleso B zotrvačne zaostáva, padá za svetlom s väčším zrýchlením ako teleso A. Rozdiel v zrýchlení vyjadruje sila Fzrel – relativistická zotrvačná sila. (Táto sila podľa môjho názoru spôsobuje relativistické javy: dilatáciu času  v pohybujúcej sa sústave z hľadiska pokojovej sústavy, kontrakciu dĺžky pohybujúcej sa sústavy a narastanie zotrvačnej hmotnosti pohybujúceho sa telesa.)

Ako som uviedol, týmto spôsobom väčšieho zrýchlenia vzhľadom na co-moving sústavu oproti pokojovej sústave si svetlo zachováva konštantnú rýchlosť c vzhľadom na všetky zotrvačne sa pohybujúce telesá, bez ohľadu  na ich vzájomný pohyb, teda v každej inerciálnej sústave. 

Podľa môjho názoru pohyb svetla nemôže byť zotrvačný. Zotrvačný pohyb si nemôže zachovať konštantnú rýchlosť v každej inerciálnej sústave!

Nakoniec aj pokojové teleso A zotrvačne zaostáva, padá za svetlom zo všetkých strán do stredu, čo sa prejavuje ako gravitácia. Ako si predstavujem riešenie gravitácie znázorňuje obr. 2.

Obr. 2: Princíp zotrvačnosti a gravitácie

Teleso A považujeme za pokojové, teleso B sa vzhľadom naň  pohybuje zotrvačne v smere šírenia sa svetla rýchlosťou v = 100 km/s.

Fzrel  -  relativistická zotrvačná sila - je sila, ktorou teleso zaostáva, padá za svetlom.

Fzrel1  je sila vyjadrujúca  pád telesa A za svetlom. Z obrázku je zrejmé, že pokojové teleso A zotrvačne zaostáva, padá za svetlom zo všetkých strán do stredu, čo sa prejavuje ako  gravitačná sila Fg.

Týmto spôsobom môžeme zároveň vysvetliť prečo je gravitačná hmotnosť  telesa ekvivalentná jeho zotrvačnej hmotnosti. Je to preto, že sila, ktorou pôsobí svetlo na teleso z jednej strany je presne rovnaká, akou naň pôsobí z druhej strany.

Fzrel2 je sila vyjadrujúca zrýchlenie pohybujúceho sa telesa B vzhľadom na svetlo v smere proti šíreniu sa svetla. Z obrázku je zrejmé, že  teleso B je pre svetlo viac co-moving sústava a zotrvačne zaostáva, padá za svetlom  s väčším zrýchlením ako  pokojové teleso A. Týmto spôsobom si  svetlo zachováva konštantnú rýchlosť c vzhľadom na obidve telesá.

4 Michelsonov-Morleyov pokus s interferometrom

Interferometer je zariadenie skladajúce sa z dvoch navzájom kolmých rovnako dlhých ramien – ramena x a ramena y, ktoré sú spojené v bode S, a zo zdroja svetla pred bodom S a tienidla za ním. V bode S je polopriepustná doštička, ktorá časť svetla odrazí do ramena y a časť prepustí do ramena x. Na konci ramena x je zrkadlo X,  ktoré vráti svetlo späť do bodu S, a na konci ramena y je zrkadlo Y, ktoré takisto vráti svetlo späť do bodu S. V bode S svetlo, ktoré prišlo z ramena x, interferuje so svetlom, ktoré prišlo z ramena y. Ak centrálny lúč prejde vzdialenosť  L1 medzi bodmi S - X a späť a vzdialenosť L2 medzi bodmi S - Y a späť v rovnakom čase, interferencia je konštruktívna a v mieste, kde centrálny lúč dopadne na tienidlo, sa bude nachádzať stred svetlého interferenčného prúžku. Ak sa časy zmenia tak, že sa budú líšiť o polovicu periódy svetla, interferencia bude deštruktívna a v danom mieste sa bude nachádzať stred tmavého interferenčného prúžku. Prúžky sa teda posunú o šírku jedného prúžka. Vo všeobecnosti platí, že čím viac sa zmení rozdiel časov, tým je posunutie väčšie.

Ak interferometer aj so zdrojom vzhľadom na pokojovú sústavu  stoja a vzdialenosť  L1 sa rovná vzdialenosti L2, výsledok sa dá predpokladať: svetlo prejde obe vzdialenosti v rovnakom čase a prúžky budú v základnej polohe. Ale čo ak sa interferometer vzhľadom na pokojovú sústavu vzďaľuje v smere osi x? Vzdialenosti, ktoré musí svetlo prekonávať pri svojom pohybe tam a späť v ramenách interferometra, sa zmenia, a jednoduchým výpočtom sa dá ukázať, že vzdialenosť L1 v smere pohybu interferometra bude väčšia ako vzdialenosť L2 v smere kolmom na pohyb interferometra. Malo by tu preto dôjsť k interferenčnému posunu. Michelsonov-Morleyov pokus však ukázal, že k žiadnemu interferenčnému posunu nedochádza. Svetlo sa šíri rovnako, ako keď je interferometer vzhľadom na pokojovú sústavu nehybný. V teórii relativity sa to vysvetľuje tým, že rameno x sa pri pohybe interferometra skráti v dôsledku relativistickej kontrakcie dĺžok.1

Podrobne o experimente Lit. [1], 304-306.

Moje vysvetlenie:

Svetlo sa správa ako zrýchlený objekt, na ktorý pôsobí sila (podobne ako raketa so zapnutými motormi): vzhľadom na co-moving sústavu, pohybujúcu sa jeho smerom, má väčšie zrýchlenie ako vzhľadom na pokojovú sústavu. Týmto spôsobom si zachováva konštantnú rýchlosť c, keď je interferometer vzhľadom na pokojovú sústavu nehybný, aj keď sa od nej vzďaľuje. Ak sa interferometer vzďaľuje vzhľadom na pokojovú sústavu v smere šírenia sa svetla v osi x, je to pre svetlo viac co-moving sústava, vzhľadom na ktorú je jeho zrýchlenie väčšie, ako v smere kolmom na pohyb – v osi y. Vzdialenosť L1 a L2 tak v oboch prípadoch (keď je interferometer vzhľadom na pokojovú sústavu nehybný, aj keď sa od nej vzďaľuje) svetlo prejde v rovnakom čase a k žiadnemu interferenčnému posunu nedochádza.

Poznámky:

1 Text označený kurzívou sformuloval fyzik Vladimír Balek.

Literatúra:

[1] KARJAKIN, Nikolaj Ivanovič, KIREJEV, Petr Semenovič a BYSTROV, Konstantin Nikolajevič. Přehled fyziky. 1. vyd. Praha: Státní nakladatelství technické literatury, 1970. 616, [2] s. Řada teoretické lit.

Autorom všetkých grafických prvkov je Pavol Dančanin.